Método de Reducción

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
4. Para este paso hay dos opciones:
   1. Se repite el proceso con la otra incógnita.
   2. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   x + y = 600
2x - y = 0

Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:

3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:

  -2x - 2y = -1200
2x - y = 0

Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:

-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.

En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/reduccion.html

Método de Igualación

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600
   y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x
                ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

Método de Suma y Resta

El objetivo de este procedimiento es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una sola variable. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de suma y resta se siguen los siguientes pasos: 1. Reexprese las ecuaciones de tal manera que tengan la forma ax + by = c. 2. Multiplique una o ambas ecuaciones por una constante, de modo que al sumar el producto con la otra ecuación se elimine una de las variables. 3. Sume las ecuaciones mencionadas en el paso anterior, resultando una ecuación de una variable. 4. Se despeja y encuentra el valor de una variable. 5. Se sustituye el valor encontrado en la ecuación no utilizada aún, para encontrar la otra variable. Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 3y = -2x + 6 5x = 4y - 8 1. Reexprese las ecuaciones de tal manera que tengan la forma ax + by = c. 2x + 3y = 6 5x - 4y = -8 2. Multiplique una o ambas ecuaciones por una constante, de modo que al sumar el producto con la otra ecuación se elimine una de las variables. Multiplicamos la primera por ( -5 ) y la segunda por ( 2 ) para obtener ( -10x ) y (10x ) y al sumarse se eliminan. -5 [2x + 3y] = 6 g -10x - 15y = -30 2 [5x - 4y] = -8 g 10x - 8y = -16 3. Sume las ecuaciones mencionadas en el paso anterior, resultando una ecuación de una variable. -10x - 15y = -30 10x - 8y = -16 - 23y = -46 4. Se despeja y encuentra el valor de una variable. y = -46 = 2 -23 5. Se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones originales, para encontrar la otra variable. 5x = 4( 2 ) - 8 5x = 8 - 8 5x = 0 x = 0 La solución es la pareja ordenada ( 0, 2 )

Regla de Cramer

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

  

Método de Sustitución

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

1. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.
3. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.
   
   
   
   
   

Sistema de Ecuaciones lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Rouché-Frobenius, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos sencillos métodos y comentaremos el método de Gauss como otra alternativa de resolución.

Definición.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

donde x₁, ..., x_n son las incógnitas,  b₁, ..., b_m se denominan términos independientes y los números a_ij se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.

Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x₁, ..., x_n que verifican todas las ecuaciones.

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:

Sistema incompatible:  son aquellos que no poseen solución.

Sistema compatible:  son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:

Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.

Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.

En un sistema de ecuaciones lineales sólo se pueden dar estas tres situaciones, es decir, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas, por lo tanto, nunca podemos encontrar un sistema lineal, con, por ejemplo, tres soluciones.

Funciones

Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de la suma de las raíces cuadradas de los dos términos por la diferencia de la raíz cuadrada del primero menos la raíz cuadrada del segundo.


a² - b² = (a + b)(a - b)

EJEMPLO:

1. 16x² -  9y² 

Proceso: Raìz cuadrada  del primer término  (Raíz del Coeficiente y mitad del exponente de la variable)   16x² = 4x

              Raìz cuadrada  del segundo termino  (Raíz del Coeficiente y mitad del exponente de la variable)  9y² = 3y

Respuesta: 16x² -  9y² = (4x + 3y)(4x - 3y)

Triangulo de Pascal

El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés). Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo. Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1". (Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

Division de Monomios y Polinomios

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que 

     

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo  y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

EJEMPLO:

Dividir  

SOLUCIÓN: 

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.

EJEMPLO:

Dividir 

SOLUCIÓN: 

 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1)      Se ordena el dividendo y el divisor  con respecto a una misma letra.

2)      Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3)      Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4)      Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5)      El segundo término del cociente  se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6)      Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

EJEMPLO:

Dividir: 

Leyes de los exponentes

1. LEY DE LA MULTIPLICACIÓN: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.



2. LEY DE LA DIVISIÓN: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.



Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:

• PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.



• PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.



3. LEY DE LA INVOLUCIÓN, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.



4. LEY DE LA EVOLUCIÓN, O DE LA EXTRACCIÓN DE RAÍCES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.



• Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.

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Multiplicación de Monomios y Polinomios

Multiplicación de monomios.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

Ejemplo:

Multiplicar 

Solución: 

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo:

Multiplicar 

Solución: 

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo:

Multiplicar: 

Resta de Polinomios

Resta de polinomios.Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. 

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x⁵ - 6 x³ - 8x² + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ - 8x³ = -6x³
-5x² - 3x² = -8x³
6 - (-4) = 10

EL ROMPECABEZAS

Los rompecabezas o puzzles son piezas comúnmente planas que combinadas correctamente forman una figura, un objeto una escena.

Son utilizados por diversión  entretenimiento o como una forma de relajarse, armar un rompecabezas es una actividad tanto para chicos como para grandes.

BENEFICIOS PEDAGÓGICOS DEL ROMPECABEZAS

El nño desarrolla su capacidad de aprender, entender y organizar las formas espaciales.

Practica la observación, descripción y comparación de elementos.

Capacidad de resolver problemas.

Ejercita la memoria visual.

Análisis de estrategias al armarlo.

Satisfacción al terminar de armarlo y eleva el autoestima.

Mantiene la atención y concentración del niño

Permite mantener la curiosidad de componer lo que no se conoce.

Tolerancia y capacidad de espera ante la dificultad.

Aprender diversos temas.

Para los adultos puede ser una buena herramienta para controlar el estrés diario.

El objetivo principal de los rompecabezas es ordenar los elementos de un conjunto de información que ha sido barajado. 

CLASES DE TÉRMINOS

TÉRMINO ENTERO
Es aquel que no tienen denominador literal

TÉRMINO FRACCIONARIO
Es el que tiene denominador literal

TÉRMINO RACIONAL

Es el que no tiene radica, como los ejemplos anteriores

TÉRMINO IRRACIONAL

El que tiene radical

TÉRMINOS HOMOGÉNEOS
Son los que tienen el mismo grado absoluto

4x⁴y    y   6x⁴y²

^{son homogéneos porque ambos son del mismo grado absoluto (5°)}

TÉRMINOS HETEROGÉNEOS

Son los de distinto grado absoluto

5x y 3x²

TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos que tienen literales y exponentes iguales

LENGUAJE COMÚN Y LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje que utiliza letras en combinaciones con números y signos, y ademas, lo tata con números en operaciones y propiedades se llama lenguaje algebraico.

Traducir el lenguaje común al lenguaje algebraico para obtener modelos matemáticos que guían el comportamiento de problemas que se nos puedan presentar en la vida diaria. El lenguaje algebraico es la generalización del lenguaje aritmético.

CLASIFICACIÓN DE TERMINOS ALGEBRAICOS

MONOMIO:
Son expresiones algebricas formadas por un solo término.

BINOMIO

Expresión algebraica formada por dos términos.

TRINOMIO 

Expresión algebraica formada por tres términos

POLINOMIO 

Expresión algebraica formada por dos o más términos 

GRADO DE UN MONOMIO 

Existen dos tipos de grados, el grado absoluto y el relativo.

El grado absoluto lo encontramos mediante la suma de los exponentes de las literales del monomio.

El grado relativo, es de acuerdo al exponente de cada una de las literales del monomio.

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un poliniomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto de un polinomio es el grado de su termino de mayor grado.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS:

• Aritmética 
• Trigonometría
• Cálculo
• Geometría 
• Estadística
• Álgebra

Concepto de expresión algebraica:

Son números combinados con letras, indicando una operación y consta de cuatro elementos; es la generalización de una operación.

El álgebra utiliza un lenguaje especifico llamado lenguaje algebraico que es basado en un lenguaje común.

Las expresiones algebraicas tienen diversos elementos y son los siguientes:

1) Literal

2) Signo

3) Exponente

4) Coeficiente